El infinito no es sólo un número muy grande. Si lo consideramos así, nuestra experiencia sobre el funcionamiento de los números nos engañará. Porque dado un número, por grande que sea, basta con sumarle uno para obtener un número todavía mayor. Infinito no se comporta así. A infinito si le sumas uno sigues teniendo infinito. Es más, si a infinito le sumas infinito el resultado sigue siendo infinito. El producto de infinito por cualquier número mayor que cero es infinito, por pequeño que sea el número.
Consideremos esta suma:
S = 1 – 1 + 1 – 1 + 1
El resultado es uno. Si añadiésemos un -1, el resultado sería cero. Si seguimos añadiendo términos, el resultado sería 1 o 0, dependiendo de los términos que añadamos. Sin embargo, si añadimos infinitos términos:
S = 1 – 1 + 1 – 1 + 1…
Ya no sabemos cuál es el resultado. Si agrupamos los términos de la siguiente forma:
S = (1 – 1) + (1 – 1) + (1 – 1)…
Entonces S = 0 porque todos los términos entre paréntesis valen cero. Pero si los agrupamos así:
S = 1 + (– 1 + 1) + (- 1 + 1)…
El resultado es S = 1 porque los términos entre paréntesis valen cero. Pero todavía podemos mejorarlo:
S = 1 – (1 – 1 + 1 – 1…)
Lo que hay entre paréntesis es S. Por tanto, tenemos:
S = 1 – S
Lo que da:
2S = 1
Y por tanto:
S = 1/2
Ése es uno de los ejemplos contenidos en este extraordinario libro de divulgación. Un libro que se enfrenta al infinito en todos sus llamativos aspectos, algunos de los cuales han sido verdaderos descubrimientos para mí. Desde los infinitos matemáticos y las cumbres imponentes de la sucesión sucesiva de infinitos de Cantor (infinitos que son mayores que otros infinitos), hasta los infinitos físicos (¿los infinitos que predicen algunas teorías son problemas de las teorías o describen fenómenos reales?), pasando por los infinitos teológicos (¿un dios infinito podría haber creado un mundo finito?), los infinitos cosmológicos (¿cuál es la forma última del universo? ¿Podríamos vivir realmente en un mundo de inflación eterna donde surgen continuamente nuevos universos?), las máquinas capaces de realizar infinitas tareas en un tiempo finito (que parecen ser posibles en la mecánica newtoniana pero imposibles en la física de Einstein), la posibilidad de infinitos bucles en el viaje en el tiempo y los detalles de una vida de inmortales.
De hecho, el libro parece tratar de cualquier tema en el que el infinito pueda entrar. Es decir, no se me había ocurrido que la ética pudiese tener problemas con el infinito (de hecho, en estas páginas se habla mucho de gente que, por una u otra razón, tenía problemas con el infinito, precisamente porque introduce problemas muy complejos allí donde aparece), pero así es. Si vivimos en un universo infinito, en ese caso, cualquier cosa que tenga una probabilidad superior a cero se repite infinitas veces. Por tanto, hay infinitas copias de todos nosotros ejecutando exactamente nuestros actos. Es más, hay infinitas copias de nosotros mismos ejecutando todos los actos que podríamos potencialmente estar ejecutando ahora mismo. En ese mundo, ¿qué sentido tiene un acto de altruismo si hay infinitos mundos en el que ese acto no se realizó? Si se pudiese demostrar que vivimos en un universo así, ¿habría que rehacer la ética?
Evidentemente, el libro no tiene tiempo de tratar ningún tema en profundidad, definiéndose, de hecho, como una breve guía. Se trata más bien de ofrecer un repaso lo más amplio posible a un tema fascinante. Y lo consigue, porque el autor logra transmitir esa sensación de gran aventura intelectual, de ideas y pensamientos asombrosos que jamás habías considerado. Lees sin parar, deseando que la siguiente página ofrezca tantas maravillas como las anteriores. Y no defrauda. Página tras páginas encuentras detalles que desconocías.
Por ejemplo, el hotel de Hilbert.
Se trata de un hotel con infinitas habitaciones. Una noche, llega un viaje y el recepcionista le dice que el hotel está lleno, que hay infinitos huéspedes. Pero el director interviene para ofrecer una solución. Basta con mover a cada huésped a la habitación siguiente (1 a la 2, de 2 a la 3, de 3 a la 4 y así sucesivamente) para dejar libre la primera habitación y poder acoger al viajero.
El viajero queda tan contento de su estancia que una semana después regresa al hotel, trayendo a infinitos amigos (siempre tuvo don de gentes). El recepcionista vuelve a objetar que le hotel está lleno. Pero una vez más, el director interviene para ofrecer una solución. Basta con desplazar a cada huésped de su habitación a la doble, de la 1 a la 2, de la 2 a la 4, de la 3 a la 6 y así sucesivamente. De tal forma quedan libres todas las habitaciones impares y el hotel puede entonces acoger a todos los infinitos amigos del viajero.
Por desgracia, los huéspedes de las habitaciones pares se cansan de tanto ajetreo y se van todos. Por tanto, todas las habitaciones pares quedan vacías y la ocupación del hotel cae al 50%, algo que el director no puede tolerar. Por suerte, la solución es simple. Basta con dejar la habitación 1 como está, trasladar 3 a 2, 5 a 3, 7 a 4, y así sucesivamente. Listo. La ocupación vuelve a ser del 100%.
Pero hay un problema adicional. El hotel pertenece a una cadena con infinitos hoteles en infinitos mundos. Como nuestro hotel es el único que mantiene una ocupación continua del 100%, los jefes han decidido cerrar los otros hoteles y trasladar a infinitos huéspedes de infinitos hoteles a nuestro hotel. ¿Cómo se les puede acomodar?
Yo conocía el hotel de Hilbert y los primeros casos que he presentado. Pero debo admitir que el problemas de infinitos grupos de infinitos huéspedes que llegan al hotel no me lo había planteado nunca.
The Infinite Book ha sido una de mis lecturas más divertidas de este año. Un extraordinario ejemplo de divulgación.
[50 libros] 2010
